Etude mathématique

Publié le par tipe arc Sagrada Familia

chaine.png

Cela est possible comme la signifier Hooke en 1678 sous la seule justification mécanique suivante : "on sait qu'on ne dérange rien dans l'équilibre des puissances en changeant seulement leur direction en son contraire."

 

equation.gif

Pour l'équation, on écrit l'équilibre d'un morceau de chaînette de longueur l entre le point le plus bas O et un point quelconque M. La tension en ces points vaut respectivement widevec {T_{0}} et T(M) et le poids de cette longueur de chaînette vaut P(l), vertical et proportionnel à la longueur l:

 

On a donc à l'équilibre:

T(O)+T(M)+P(l)=0.

Notons â l'angle entre T(M) et l'horizontal.

 

(sur X) T(O)+ T(M) cos(â )= 0
(sur Y) T(M) sin(â) = -P(l)  <=> T(M) = -P(l)/sin(â)

 

D'où T(O)-P(l)(cos(â)/sin(â)) = 0 <=> T(0)tan(â) = P(l) <=> tan(â)=lg/T(0)

on Pose K=T(0)/g=cste, on a donc tan(â)=l/K

 

or tan(â) = dy/dx => d²y/dx²=(1/K)(dl/dx)  on pose d²y/dx²=y'' et on obtient y''=(1/K)(dl/dx)

 

Et dl= √[(dx)²+(dy)²]=dx √[1+(dy/dx)²]=dx √[1+y'²], on en déduit que dl/dx= √[1+y'²]

 

Donc l'équation de la chaînette est une équation différentielle de la forme : y"=(1/K)√[1+y'²]  <=> y''/(√[1+y'²])=1/K (1)

 

On ramenne au premier ordre en posant u = y':

formule.gif

 

On intégre donc (1) et on passe à l'exponentielle, en remarquant qu'en x = 0 on a y' = 0 :

formule2.gif

D'où : y' = (ex/k - e-x/k)/2

 

On remarque enfin qu'en x = 0 on a aussi y = 0, la solution de (1) et de notre problème sera :

Y = k(eX/k + e-X/k)/2 = k.cosh(X/k)

Le choix particulier de l'origine que nous avons fait dans ce calcul évite l'intervention des coordonnées de A et B. Ces dernières interviennent au niveau du calcul des constantes d'intégration. Le cas général fournit un résultat de la forme :

formule-2.gif

 

et conduit sans peine au calcul des constantes C1 et C2 en exprimant que la courbe passe par A et B.

 

On finit par obtenir:

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Avec a une constante.

 

La longueur L0 de la chaînette entre l'abscisse du sommet de la chaine et celui d'abscisse x0 est donnée par la formule:

 

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